Dairenin Alanı Nasıl Hesaplanır? [İspatlı]

Dairenin alanı nasıl hesaplanır diye birisine sorsanız size ezbere dairenin alan formülü olarak πr² diye cevabı yapıştırır. Tabi burada π sayısının okuduğunuz okula, bölüm ve derse göre değişmekle beraber yaklaşık olarak 3 veya 3.14 olduğunu da belirtir. Fakat, eğer tüm daire değil de daire diliminin alanı söz konusu ise araya bir de açılar girer.

Peki tüm bunların formüllerini ezberlemek ne kadar akılda kalıcıdır? Eğer bir şeyleri ezberlemekten bıktıysanız doğru adrestesiniz. Gelin bu yazıda bu formüllerin nereden türediğine mantıklı açıklamalar çerçevesinde bir göz atalım ve akılda kalıcı bir şekilde bu formüllerin görsel ispatlarına göz atalım.

Dairenin ve Daire Diliminin Alan Formülünün Mantıksal İspatı

Adım-1: İlk olarak daire hayali olarak iki farklı renkte, eşit sayıda ve eşit büyüklükte alanlara sahip parçalara (başka bir ifadeyle daire dilimlerine) bölünmelidir. Yani tıpkı şu görseldeki gibi bir işlem gerçekleştirilmelidir:

Adım-2: Daha sonra bu daire dilimlerinin aynı renkler yan yana gelecek şekilde, daha hoş bir ifadeyle adeta bir doğru oluşturacak şekilde dizilir. Yani tıpkı şu görseldeki gibi bir işlem gerçekleştirilmelidir:

Adım-3: Ardından adım 1 ve adım 2 büyük parçalar için değil de, daha küçük alana sahip parçalar için tekrarlanmalıdır. Bu işlem tekrarlandıkça, yani elde edilen parçaların alanları küçüldükçe elde edilen şekil adeta bir dikdörtgene benzemeye başlamaktadır. Bu durum aşağıdaki görselde açık ve net bir şekilde görünmektedir:

Adım-4: Bu işlem yeterince tekrar edildiği taktirde alanı çemberin alanına eşit olan bir dikdörtgen elde edilmiş olur. Bu dikdörtgenin alanı da πr² oluyor. Bu durum aşağıdaki görselde açık ve net bir şekilde görünmektedir:

Dairenin ve Daire Diliminin Alan Formülünün Mantıksal İspatı

y = f(x) = Karekök (r^2 – x^2)
İntegral (0’dan r’ye) Karekök (r^2 – x^2) dr = Dairenin Alanı…
x = r. sin @ olduğundan;
r^2 -x^2 = r^2 – r^2 sin^2 @
r^2 ( 1 – sin^2@ )
İntegral karekök r^2 .cos ^2 @
İntegral r.cos@ . dr
r sıfırdan r ye giderse cos@ integrali pi /2 olur.
(r^2 / 2).(pi / 2) = Dairenin 4’de birinin (0 dan r ye) alanıdır… O halde bunu 4 ile çarparsam dairenin alanı olur.
(r^2.pi / 4) . 4 = pi.r^2

CONTENT İNDEX